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2018年高考数学冲刺复习 教你如何拿到双曲线的分数

http://gaokao.eol.cn/  来源:搜狐  作者:  2017-11-12  字体:  

  纵观近几年的高考数学试卷,我们会发现与双曲线相关的题型几乎年年都会考到,属于重要考点。题型也比较丰富,如有选择题、填空题、解答题的形式;考查的知识点有双曲线的定义、标准方程、渐近线和离心率、双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系等等。

  跟双曲线有关的选择题或填空题一般分值为4分或5分,解答题甚至10分题目都会有。因此,考生对双曲线的学习应加以重视。

  要想学好双曲线,我们可以“借用”其他几个圆锥曲线内容,如学习双曲线的定义、标准方程和几何性质时,可以对椭圆的定义、标准方程和几何性质进行类比,找出它们的不同点,对比记忆,加深理解。

  椭圆的定义:

  平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的焦距。

  双曲线的定义:

  平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

  从椭圆和双曲线的定义,我们可以看到两种知识的联系和区别,这也更好帮助我们理解和掌握好知识内容。如要注意“常数”所满足的条件以及绝对值所起的作用,要注意与椭圆中的有关式子进行比较,并加以区别。

  典型例题分析1:

  已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.

  (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;

  (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

  解:(1)由16x2-9y2=144得x2/9-y2/16=1,

  所以a=3,b=4,c=5,

  所以焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=5/3,渐近线方程为y=±4x/3.

  (2)由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=6,

  cos ∠F1PF2=(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2)/2|PF1||PF2|

  ={(|PF1|2-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2}/2|PF1||PF2|

  =(36+64-100)/64=0,

  则∠F1PF2=90°.

  要想正确解决双曲线的问题,首先学好双曲线的基本概念、知识点等等,如求双曲线方程时,若不能确定焦点位置,要注意分类讨论.若焦点所在的坐标轴不同,其渐近线方程的形式也不同。

  区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈(0,1)。

  典型例题分析2:

  设F1,F2是双曲线x2-y2/24=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 .

  解析:由P是双曲线上的一点和3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S=(6×8)/2=24。

  双曲线作为高考的热点内容之一,在每年全国各地的高考试卷中,都会有相关的题型出现。一些复杂题型会以直线与双曲线位置关系为背景的求双曲线方程问题,要利用点差法处理弦中点与斜率问题等。

  应用双曲线的定义需注意的问题:

  在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支。

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