备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二

　　1. (本小题满分12分)

　　已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n - ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.

　　(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.

　　(2) 对任意n   a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

　　解: (1)  fn `( x ) = nx n - 1 - n ( x + a)n - 1 = n [x n - 1 - ( x + a)n - 1 ] ,

　　∵a > 0 , x > 0,  ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减.      4分

　　（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn - ( x + a)n是关于x的减函数,

　　∴ 当n   a时, 有：(n + 1 )n- ( n + 1 + a)n   n n - ( n + a)n.             2分

　　又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn  -( x+ a )n ] ,

　　∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n  -( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn - ( n + a)n] =  ( n + 1 )[ nn - ( n + a )( n + a)n - 1 ]                                                2分

　　( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n - 1 - ( n + a)n - 1 ] = ( n + 1 )[n n - n( n + a)n - 1 ],    2分

　　∵( n + a ) > n ,

　　∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) ......点击下载试题