数 学

　　数形结合思想方法大串讲

　　合肥一中 杜明成

　　把脉高考

　　所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。数形结合思想是解答数学试题的一种常用的方法和技巧，特别是在解决选择题、填空题中发挥着奇特的功效。

　　赢考策略

　　一、进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

　　(1)建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解。

　　(2)转化为熟悉的几何模型来求解。

　　(3)构造几何模型来求解。

　　二、常见的以形助数的方法有

　　(1)借助于数轴正确理解、运用数轴的有关概念，对于解决与对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算等问题是非常有效的。

　　(2)借助于函数图像：函数图像直观地描述了函数的变化状况和各种性质，因此借助于函数图像分析总是和解决问题是常用的方法。

　　(3)借助于单位圆，三角函数可以用单位圆中的有向线段表示，利用三角函数线可以直观地看到三角函数值的变化及各种内在联系。

　　(4)借助于方程的曲线：由方程的代数式，联想其几何意义，并用几何知识解决问题，如点、直线、斜率、距离、圆及其他的曲线等对解决代数问题都有重要的作用，应充分予以重视。

　　而常见的把数作为手段的数形结合，主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。

　　题型聚焦

　　题型1.函数fx＝X2-ax＋3在-2，2上恒有fx≥a，求实数a的取值范围。

　　分析：fx＝x2-ax＋3的图像是开口向上，但对称轴不定的抛物线，需联系图形分类讨论。

　　(1)当＜-2即a＜-4时，fx在-2，2上最小值为f-2＝7＋2a，

　　只需f-2≥a即可，

　　∴7＋2a≥a∴a≥-7，考虑到前提a＜-4，

　　∴-7≤a＜-4

　　(2)当-2≤≤2时，即-4≤a≤4时，

　　fx在-2，2上最小值为f＝

　　只需≥a即可

　　∴-6≤a≤2考虑到前提-4≤a≤4

　　∴-4≤a≤2

　　3当＞2即a＞4时，fx在-2，2上最小值为f2＝7-2a

　　只需7-2a≥a， ∴a≤

　　考虑到前提a＞4，舍a≤

　　综上，-7≤a≤-2

　　题型2.已知⊙F过定点A(a0)a＞0圆心F在抛物线C：y2＝2ax上运动，MN为⊙在y轴截得的弦。

　　(1)判断弦MN的长是否随圆心F的运动而变化？并证明你的结论；

　　(2)当｜OA｜是｜OM｜、｜ON｜的等差中项时，抛物线C的准线与⊙F有怎样的位置关系？并说明理由。

　　解：(1)MN的长不随圆心F的运动变化。

　　(下面证明｜MN｜为定值)(如图)设圆心F(x0y0)则y02＝2ax ⊙F的半径R＝｜AF｜＝＝ 。

　　作FQ⊥y轴，则垂足Q为MN的中点，

　　∴｜MN｜＝2｜MQ｜＝2＝2＝2a定值

　　所以MN的长不随圆心F的运动而变化。

　　(2)设M(0，y1)N0y2

　　⊙F的方程：x-x02＋y-y02＝x20＋a2与x＝0联立得：

　　∴y1y2＝y02-a2＝0，

　　又∵｜OA｜是｜OM｜与｜ON｜的等差中项，而｜MN｜＝｜y1-y2｜＝2a，

　　∴｜y1｜＋｜y2｜＝｜y1-y2｜ 得y1y2≤0，即y1-y2＝y02-a2≤0

　　又即2ax0-a2≤0 ∴0≤x0≤。

　　设圆心F到抛物线C的准线X＝-的距离为d，则d2-R2＝x0＋2-x02＋a2＝ax0-a＜0所以：d＜R，故抛物线的准线与⊙F必相交。